Окружающий мир пребывает в постоянном движении. Любое тело (объект) способно выполнить определенную работу, даже если оно в состоянии покоя. Но для совершения любого процесса требуется приложить некоторые усилия , порой немалые.
В переводе с греческого языка этот термин означает «деятельность», «сила», «мощь». Все процессы на Земле и за пределами нашей планеты происходят благодаря этой силе, которой обладают окружающие объекты, тела, предметы.
Вконтакте
Среди большого разнообразия выделяют несколько основных видов данной силы, отличающихся прежде всего своими источниками:
- механическая – данный вид характерен для движущихся в вертикальной, горизонтальной или другой плоскости тел;
- тепловая – выделяется в результате неупорядоченного молекул в веществах;
- – источником этого вида является движение заряженных частиц в проводниках и полупроводниках;
- световая – переносчиком ее являются частицы света – фотоны;
- ядерная – возникает вследствие самопроизвольного цепного деления ядер атомов тяжелых элементов.
В этой статье пойдет речь о том, что собой представляет механическая сила предметов, из чего она состоит, от чего зависит и как преобразуется во время различных процессов.
Благодаря этому виду предметы, тела могут находиться в движении либо в состоянии покоя. Возможность такой деятельности объясняется присутствием двух основных составляющих:
- кинетической (Ек);
- потенциальной (Еп).
Именно сумма кинетической и потенциальной энергий определяет общий численный показатель всей системы. Теперь о том, какие формулы используются для расчетов каждой из них, и в чем измеряется энергия.
Как рассчитать энергию
Кинетическая энергия – это характеристика любой системы, которая находится в движении . Но как найти кинетическую энергию?
Сделать это несложно, так как расчетная формула кинетической энергии весьма проста:
Конкретное значение определяется двумя основными параметрами: скоростью перемещения тела (V) и его массой (m). Чем больше данные характеристики, тем большей значением описываемого явления обладает система.
Но если объектом не совершаются перемещения (т.е. v = 0), то и кинетическая энергия равна нулю.
Потенциальная энергия – это характеристика, зависящая от положения и координат тел .
Любое тело подвержено земному притяжению и воздействию сил упругости. Такое взаимодействие объектов между собой наблюдается повсеместно, поэтому тела находятся в постоянном движении, меняют свои координаты.
Установлено, чем выше от поверхности земли находится предмет, чем больше его масса, тем большим показателем данной величины оно обладает .
Таким образом, зависит потенциальная энергия от массы (m) , высоты (h). Величина g – ускорение свободного падения, равное 9,81 м/сек2. Функция расчета ее количественного значения выглядит так:
Единицей измерения этой физической величины в системе СИ считается джоуль (1 Дж) . Именно столько нужно затратить сил, чтобы переместить тело на 1 метр, приложив при этом усилие в 1 ньютон.
Важно! Джоуль как единица измерения утвержден на Международном конгрессе электриков, который проходил в 1889 году. До этого времени эталоном измерения была Британская термическая единица BTU, используемая в настоящее время для определения мощности тепловых установок.
Основы сохранения и превращения
Из основ физики известно, что суммарная сила любого объекта, независимо от времени и места его пребывания, всегда остается величиной постоянной, преобразуются лишь ее постоянные составляющие (Еп) и (Ек).
Переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно происходит при определенных условиях.
Например, если предмет не перемещается, то его кинетическая энергия равна нулю, в его состоянии будет присутствовать только потенциальная составляющая.
И наоборот, чему равна потенциальная энергия объекта, например, когда он находится на поверхности (h=0)? Конечно, она нулевая, а Е тела будет состоять только из ее составляющей Ек.
Но потенциальная энергия – это мощность движения . Стоит только системе приподняться на какую- то высоту, после чего его Еп сразу начнет увеличиваться, а Ек на такую величину, соответственно, уменьшаться. Эта закономерность просматривается в вышеуказанных формулах (1) и (2).
Для наглядности приведем пример с камнем либо мячом, которые подбрасывают. В процессе полета каждый из них обладает и как потенциальной, так и кинетической составляющей. Если одна увеличивается, то другая на такую же величину уменьшается.
Полет предметов вверх продолжается лишь до тех пор, пока хватит запаса и сил у составляющей движения Ек. Как только она иссякла, начинается падение.
А вот чему равна потенциальная энергия предметов в самой верхней точке, догадаться нетрудно, она максимальная
.
При их падении происходит все наоборот. При касании с землей уровень кинетической энергии равен максимуму.
Кинети́ческая эне́ргия - скалярная функция , являющаяся мерой движения материальных точек , образующих рассматриваемую механическую систему , и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точек . Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как
T = ∑ m i v i 2 2 {\displaystyle T=\sum {{m_{i}v_{i}^{2}} \over 2}} ,где индекс i {\displaystyle \ i} нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения . Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя ; таким образом, кинетическая энергия - часть полной энергии , обусловленная движением . Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: T {\displaystyle T} , E k i n {\displaystyle E_{kin}} , K {\displaystyle K} и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж).
История понятия
Кинетическая энергия в классической механике
Случай одной материальной точки
По определению, кинетической энергией материальной точки массой m {\displaystyle m} называется величина
T = m v 2 2 {\displaystyle T={{mv^{2}} \over 2}} ,при этом предполагается, что скорость точки v {\displaystyle v} всегда значительно меньше скорости света . С использованием понятия импульса ( p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} ) данное выражение примет вид T = p 2 / 2 m {\displaystyle \ T=p^{2}/2m} .
Если F → {\displaystyle {\vec {F}}} - равнодействующая всех сил , приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} . Скалярно умножив его на перемещение материальной точки и учитывая, что a → = d v → / d t {\displaystyle {\vec {a}}={\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t} , причём d (v 2) / d t = d (v → ⋅ v →) / d t = 2 v → ⋅ d v → / d t {\displaystyle {\rm {d}}(v^{2})/{\rm {d}}t={\rm {d}}({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/{\rm {d}}t=2{\vec {v}}\cdot {\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t} , получим F → d s → = d (m v 2 / 2) = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}(mv^{2}/2)={\rm {d}}T} .
Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина T {\displaystyle \ T} остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения .
Случай абсолютно твёрдого тела
T = M v 2 2 + I ω 2 2 . {\displaystyle T={\frac {Mv^{2}}{2}}+{\frac {I\omega ^{2}}{2}}.}Здесь - масса тела, v {\displaystyle \ v} - скорость центра масс , ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} и - угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси , проходящей через центр масс .
Кинетическая энергия в гидродинамике
Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны , порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это - просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.
Кинетическая энергия в квантовой механике
В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор , записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором ( p ^ = − j ℏ ∇ {\displaystyle {\hat {p}}=-j\hbar \nabla } , - мнимая единица):
T ^ = p ^ 2 2 m = − ℏ 2 2 m Δ {\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }где ℏ {\displaystyle \hbar } - редуцированная постоянная Планка , ∇ {\displaystyle \nabla } - оператор набла , Δ {\displaystyle \Delta } - оператор Лапласа . Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики - уравнение Шрёдингера .
Кинетическая энергия в релятивистской механике
Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света , кинетическая энергия материальной точки определяется как
T = m c 2 1 − v 2 / c 2 − m c 2 , {\displaystyle T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2},}где - масса , v {\displaystyle \ v} - скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта, c {\displaystyle \ c} - скорость света в вакууме ( m c 2 {\displaystyle mc^{2}} - энергия покоя). Как и в классическом случае, имеет место соотношение F → d s → = d T {\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T} , получаемое посредством умножения на d s → = v → d t {\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} выражения второго закона Ньютона (в виде F → = m ⋅ d (v → / 1 − v 2 / c 2) / d t {\displaystyle \ {\vec {F}}=m\cdot {\rm {d}}({\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})/{\rm {d}}t} ).
С понятием работы тесно связано другое фундаментальное физическое понятие – понятие энергии. Поскольку в механике изучается, во-первых, движение тел, а во-вторых, взаимодействие тел между собой, то принято различать два вида механической энергии: кинетическую энергию , обусловленную движением тела, и потенциальную энергию , обусловленную взаимодействием тела с другими телами.
Кинетической энергией механической системы называют энергию, з ависящую от скоростей движения точек этой системы.
Выражение для кинетической энергии можно найти, определив работу равнодействующей силы, приложенной к материальной точке. На основании (2.24) запишем формулу для элементарной работы равнодействующей силы:
Так
как
,
то
dА
= mυdυ.
(2.25)
Чтобы найти работу равнодействующей силы при изменении скорости тела от υ 1 до υ 2 проинтегрируем выражение (2.29):
(2.26)
Так как работа - мера передачи энергии от одного тела другому, то на
основании
(2.30) запишем, что величина
есть
кинетическая энергия
тела:
откуда
вместо (1.44) получаем
(2.27)
Теорему, выраженную формулой (2.30) принято называть теоремой о кинетической энергии . В соответствии с ней работа сил, действующих на тело (или систему тел), равна изменению кинетической энергии этого тела (или системы тел).
Из теоремы о кинетической энергии следует физический смысл кинетической энергии : кинетическая энергия тела равна работе, которую оно способно совершать в процессе уменьшения своей скорости до нуля. Чем больше «запас» кинетической энергии у тела, тем большую работу оно способно совершить.
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит:
(2.28)
Если работа всех сил, действующих на тело, положительна, то кинетическая энергия тела возрастает, если работа отрицательна, то кинетическая энергия убывает.
Очевидно, что элементарная работа равнодействующей всех приложенных к телу сил будет равна элементарному изменению кинетической энергии тела:
dА = dЕ к. (2.29)
В заключение заметим, что кинетическая энергия, как и скорость движения, имеет относительный характер. Например, кинетическая энергия пассажира, сидящего в поезде, будет разной, если рассматривать движение относительно полотна дороги или относительно вагона.
§2.7 Потенциальная энергия
Вторым видом механической энергии является потенциальная энергия – энергия, обусловленная взаимодействием тел.
Потенциальная энергия характеризует не любое взаимодействие тел, а лишь такое, которое описывается силами, не зависящими от скорости. Большинство сил (сила тяжести, сила упругости, гравитационные силы и т.д.) именно таковы; исключением являются лишь силы трения. Работа рассматриваемых сил не зависит от формы траектории, а определяется лишь её начальным и конечным положением. Работа таких сил на замкнутой траектории равна нулю.
Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а зависит лишь от начального и конечного положения материальной точки (тела) называют потенциальными или консервативными силами .
Если тело взаимодействует со своим окружением посредством потенциальных сил, то для характеристики этого взаимодействия можно ввести понятие потенциальной энергии.
Потенциальной называют энергию, обусловленную взаимодействием тел и зависящую от их взаимного расположения.
Найдем потенциальную энергию тела, поднятого над землей. Пусть тело массой m равномерно перемещается в гравитационном поле из положения 1 в положение 2 по поверхности, сечение которой плоскостью чертежа показано на рис. 2.8. Это сечение является траекторией материальной точки (тела). Если трение отсутствует, то на точку действуют три силы:
1) сила N со стороны поверхности нормально поверхности, работа этой силы равна нулю;
2) сила тяжести mg, работа этой силы А 12 ;
3) сила тяги F со стороны некоторого движущего тела (двигатель внутреннего сгорания, электродвигатель, человек и т. п.); работу этой силы обозначим А T .
Рассмотрим работу силы тяжести при перемещении тела вдоль наклонной плоскости длиной ℓ (рис. 2.9). Как видно из этого рисунка, работа равна
А" = mgℓ соsα = mgℓ соs(90° + α) = - mgℓ sinα
Из треугольника ВСD имеем ℓ sinα = h, поэтому из последней формулы следует:
Траекторию движения тела (см. рис. 2.8) можно схематично представить небольшими участками наклонной плоскости, поэтому для, работы силы тяжести на всей траектории 1 -2 справедливо выражение
A 12 =mg (h 1 -h 2) =-(mg h 2 - mg h 1) (2.30)
Итак, работа силы тяжести не зависит от траектории тела, а зависит от различия в высотах расположения начальной и конечной точек траектории.
Величину
е п = mg h (2.31)
называют потенциальной энергией материальной точки (тела) массой m поднятой над землей на высоту h. Следовательно, формулу (2.30) можно переписать так:
A 12 = =-(En 2 - En 1) или A 12 = =-ΔEn (2.32)
Работа силы тяжести равна взятому с обратным знаком изменению потенциальной энергии тел, т. е. разности ее конечного и начального значений (теорема о потенциальной энергии ).
Подобные рассуждения можно привести и для упруго деформированного тела.
(2.33)
Отметим, что физический смысл имеет разность потенциальных энергий как величина, определяющая работу консервативных сил. В связи с этим безразлично, какому положению, конфигурации, следует приписать нулевую потенциальную энергию.
Из теоремы о потенциальной энергии можно получить одно очень важное следствие: консервативные силы всегда направлены в сторону уменьшения потенциальной энергии. Установленная закономерность проявляется в том, что любая система, предоставленная самой себе, всегда стремится перейти в такое состояние, в котором её потенциальная энергия имеет наименьшее значение. В этом заключается принцип минимума потенциальной энергии .
Если система в данном состоянии не обладает минимальной потенциальной энергией, то это состояние называют энергетически невыгодным .
Если шарик находится на дне вогнутой чаши (рис.2.10,а), где его потенциальная энергия минимальна (по сравнению с ее значениями в соседних положениях), то его состояние более выгодно. Равновесие шарика в этом случае является устойчивым : если сместить шарик в сторону и отпустить, то он снова возвратится в своё первоначальное положение.
Энергетически невыгодным, например, является положение шарика на вершине выпуклой поверхности (рис.2.10, б). Сумма сил, действующих при этом на шарик, равна нулю, и потому, этот шарик будет находится в равновесии. Однако равновесие это является неустойчивым : достаточно малейшего воздействия, чтобы он скатился вниз и тем самым перешёл в состояние энергетически более выгодное, т.е. обладающее меньшей
п
отенциальной
энергией.
При безразличном равновесии (рис. 2.10, в) потенциальная энергия тела равна потенциальной энергии всех его возможных ближайших состояний.
На рисунке 2.11 можно указать некоторую ограниченную область пространства (например cd), в которой потенциальная энергия меньше, чем вне её. Эта область получила название потенциальной ямы .
Мышцы, приводящие в движение звенья тела, совершают механическую работу.
Работа в некотором направлении – это произведение силы (F), действующей в направлении перемещения тела на пройденный им путь (S): А = F S.
Выполнение работы требует энергии. Следовательно, при выполнении работы энергия в системе уменьшается. Поскольку для того чтобы была совершена работа, необходим запас энергии, последнюю можно определить следующим образом: Энергия – это возможность совершить работу, это некоторая мера имеющегося в механической системе « ресурса» для её выполнения . Кроме того, энергия – это мера перехода одного вида движения в другой.
В биомеханике рассматривают следующие основные виды энергии :
Потенциальная, зависящая от взаимного расположения элементов механической системы тела человека;
Кинетическая поступательного движения;
Кинетическая вращательного движения;
Потенциальная деформации элементов системы;
Тепловая;
Обменных процессов.
Полная энергия биомеханической системы равна сумме всех перечисленных видов энергии.
Поднимая тело, сжимая пружину, можно накопить энергию в форме потенциальной для последующего её использования. Потенциальная энергия всегда связана с той или иной силой, действующей со стороны одного тела на другое. Например, Земля силой тяжести действует на падающий предмет, сжатая пружина – на шарик, натянутая тетива – на стрелу.
Потенциальная энергия – это энергия, которой обладает тело благодаря своему положению по отношению к другим телам, или благодаря взаимному расположению частей одного тела .
Стало быть сила тяготения и упругая сила являются потенциальными.
Гравитационная потенциальная энергия: Еп = m g h
Где k – жёсткость пружины; х – её деформация.
Из приведённых примеров видно, что энергию можно накопить в форме потенциальной энергии (поднять тело, сжать пружину) для последующего использования.
В биомеханике рассматривают и учитывают два вида потенциальной энергии: обусловленную взаимным расположением звеньев тела к поверхности Земли (гравитационная потенциальная энергия); связанную с упругой деформацией элементов биомеханической системы (кости, мышцы, связки) или каких-либо внешних объектов (спортивных снарядов, инвентаря).
Кинетическая энергия
запасается в теле при движении. Движущееся тело совершает работу за счёт её убыли. Поскольку звенья тела и тело человека совершают поступательное и вращательное движения, суммарная кинетическая энергия (Ек) будет равна: 
, где m – масса, V – линейная скорость, J – момент инерции системы, ω – угловая скорость.
Энергия поступает в биомеханическую систему за счёт протекания в мышцах метаболических обменных процессов. Изменение энергии, в результате которого совершается работа, не является высокоэффективным процессом в биомеханической системе, то есть не вся энергия переходит в полезную работу. Часть энергии теряется необратимо, переходя в тепло: только 25 % используется для выполнения работы, остальные 75 % преобразуются и рассеиваются в организме.
Для биомеханической системы применяют закон сохранения энергии механического движения в форме:
Епол = Ек + Епот + U,
где Епол – полная механическая энергия системы; Ек – кинетическая энергия системы; Епот – потенциальная энергия системы; U – внутренняя энергия системы, представляющая в основном тепловую энергию.
Полная энергия механического движения биомеханической системы имеет в своей основе два следующих источника энергии: метаболические реакции в организме человека и механическая энергия внешней среды (деформирующихся элементов спортивных снарядов, инвентаря, опорных поверхностей; противников при контактных взаимодействиях). Передаётся эта энергия посредством внешних сил.
Особенностью энергопродукции в биомеханической системе является то, что одна часть энергии при движении расходуется на совершение необходимого двигательного действия, другая идёт на необратимое рассеивание запасённой энергии, третья сохраняется и используется при последующем движении. При расчёте затрачиваемой при движениях энергии и совершаемой при этом механической работы тело человека представляют в виде модели многозвеньевой биомеханической системы, аналогичной анатомическому строению. Движения отдельного звена и движения тела в целом рассматривают в виде двух более простых видов движения: поступательного и вращательного.
Полную механическую энергию некоторого i-го звена (Епол) можно подсчитать как сумму потенциальной (Епот) и кинетической энергии (Ек). В свою очередь Ек можно представить как сумму кинетической энергии центра масс звена (Ек.ц.м.), в которой сосредоточена вся масса звена, и кинетической энергии вращения звена относительно центра масс (Ек. Вр.).
Если известна кинематика движения звена, это общее выражение для полной энергии звена будет иметь вид: , где mi – масса i-го звена; ĝ – ускорение свободного падения; hi – высота центра масс над некоторым нулевым уровнем (например, над поверхностью Земли в данном месте); - скорость поступательного движения центра масс; Ji – момент инерции i- го звена относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс; ω – мгновенная угловая скорость вращения относительно мгновенной оси.
Работа по изменению полной механической энергии звена (Аi) за время работы от момента t1 до момента t2 равна разности значений энергии в конечный (Еп(t2)) и начальный (Еп(t1)) моменты движения:
Естественно, в данном случае работа затрачивается на изменение потенциальной и кинетической энергии звена.
Если величина работы Аi > 0, то есть энергия увеличилась, то говорят, что над звеном совершена положительная работа. Если же Аi < 0, то есть энергия звена уменьшилась, - отрицательная работа.
Режим работы по изменению энергии данного звена называется преодолевающим, если мышцы совершают положительную работу над звеном; уступающим, если мышцы совершают отрицательную работу над звеном.
Положительная работа совершается, когда мышца сокращается против внешней нагрузки, идёт на разгон звеньев тела, тела в целом, спортивных снарядов и т. д. Отрицательная работа совершается, если мышцы противодействуют растяжению за счёт действия внешних сил. Это происходит при опускании груза, спуска по лестнице, противодействии силе, превышающей силу мышц (например в армрестлинге).
Замечены интересные факты соотношения положительной и отрицательной работ мышц: отрицательная работа мышц экономичней положительной; предварительное выполнение отрицательной работы повышает величину и экономичность следующей за ней положительной работы.
Чем больше скорость передвижения тела человека (во время легкоатлетического бега, бега на коньках, бега на лыжах и т. п.), тем большая часть работ затрачивается не на полезный результат - перемещение тела в пространстве, а на перемещение звеньев относительно ОЦМ. Поэтому при скоростных режимах основная работа тратится на разгон и торможение звеньев тела, так как с ростом скорости резко растут ускорения движения звеньев тела.
Кинетическая энергия механической системы - это энергия механического движения этой системы.
Сила F , действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.
Используя второй закон Ньютона F =mdv /dt
и умножая обе части равенства на перемещение dr , получим
F dr =m(dv /dt)dr=dA
Таким образом, тело массой т, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией
Т = т v 2 /2. (12.1)
Из формулы (12.1) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.
При выводе формулы (12.1) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.
Потенциальная энергия - механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них,- консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной; ее примером является сила трения.
Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией II. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:
Работа dА выражается как скалярное произведение силы F на перемещение dr и выражение (12.2) можно записать в виде
F dr =-dП. (12.3)
Следовательно, если известна функция П(r ), то из формулы (12.3) можно найти силу F по модулю и направлению.
Потенциальная энергия может быть определена исходя из (12.3) как
где С - постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня. Для консервативных сил
или в векторном виде
F =-gradП, (12.4) где
(i, j, k - единичные векторы координатных осей). Вектор, определяемый выражением (12.5), называется градиентом скаляра П.
Для него наряду с обозначением grad П применяется также обозначение П. («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:
Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна
П = mgh, (12.7)
где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П 0 = 0. Выражение (12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.
Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!}. Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h"), П= - mgh".
Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:
F х упр = -kx,
где F x упр - проекция силы упругости на ось х; k - коэффициент упругости (для пружины - жесткость), а знак минус указывает, что F x упр направлена в сторону, противоположную деформации х.
По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, т. е.
F x =-F x упр =kx Элементарная работа dA, совершаемая силой F x при бесконечно малой деформации dx, равна
dA = F x dx = kxdx,
а полная работа
идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела
П=kx 2 /2.
Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.
Полная механическая энергия системы - энергия механического движения и взаимодействия:
т. е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.