Превращение энергии при механических колебаниях. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс. Гармонические колебания Превращение энергии при гармоническом колебании

Рассмотрим превращение энергии при гармонических колебаниях в двух случаях: в системе нет трения; в системе есть трение.

Превращения энергии в системах без трения. Смещая шарик, прикрепленный к пружине (см. рис. 3.3), вправо на расстояние х m , мы сообщаем колебательной системе потенциальную энергию:

При движении шарика влево деформация пружины становится меньше, и потенциальная энергия системы уменьшается. Но одновременно увеличивается скорость и, следовательно, возрастает кинетическая энергия. В момент прохождения шариком положения равновесия потенциальная энергия колебательной системы становится равной нулю (W п = 0 при х = 0). Кинетическая же энергия достигает максимума.

После прохождения положения равновесия скорость шарика начинает уменьшаться. Следовательно, уменьшается и кинетическая энергия. Потенциальная же энергия системы снова увеличивается. В крайней левой точке она достигает максимума, а кинетическая энергия становится равной нулю. Таким образом, при колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Нетрудно проследить за тем, что такие же превращения механической энергии из одного ее вида в другой происходят и в случае математического маятника.

Полная механическая энергия при колебаниях тела, прикрепленного к пружине, равна сумме кинетической и потенциальной энергий колебательной системы:

Кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. Но полная механическая энергия изолированной системы, в которой отсутствуют силы сопротивления, сохраняется (согласно закону сохранения механической энергии) неизменной. Она равна либо потенциальной энергии в момент максимального отклонения от положения равновесия, либо же кинетической энергии в момент, когда тело проходит положение равновесия:

Энергия колеблющегося тела прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний координаты или квадрату амплитуды колебаний скорости (см. формулу (3.26)).

Свободные колебания груза, прикрепленного к пружине, или маятника являются гармоническими лишь в том случае, когда нет трения. Но силы трения, или, точнее, силы сопротивления окружающей среды, хотя, может быть, и малые, всегда действуют на колеблющееся тело.

Силы сопротивления совершают отрицательную работу и тем самым уменьшают механическую энергию системы. Поэтому с течением времени максимальные отклонения тела от положения равновесия становятся все меньше и меньше. В конце концов, после того как запас механической энергии окажется исчерпанным, колебания прекратятся совсем. Колебания при наличии сил сопротивления являются затухающими .

График зависимости координаты тела от времени при затухающих колебаниях изображен на рисунке 3.10. Подобный график может вычертить само колеблющееся тело, например маятник.

На рисунке 3.11 изображен маятник с песочницей. Маятник на равномерно движущемся под ним листе картона струйкой песка вычерчивает график зависимости своей координаты от времени. Это простой метод временной развертки колебаний, дающий достаточно полное представление о процессе колебательного движения. При небольшом сопротивлении затухание колебаний на протяжении нескольких периодов мало. Если же к нитям подвеса прикрепить лист плотной бумаги для увеличения силы сопротивления, то затухание станет значительным.

В автомобилях применяются специальные амортизаторы для гашения колебаний кузова при езде по неровной дороге. При колебаниях кузова связанный с ним поршень движется в цилиндре, заполненном жидкостью. Жидкость перетекает через отверстия в поршне, что приводит к появлению больших сил сопротивления и быстрому затуханию колебаний.

Энергия колеблющегося тела при отсутствии сил трения сохраняется неизменной.

Если на тела системы действуют силы сопротивления, то колебания являются затухающими.

Описание видеоурока

Составим уравнение колебания шарика, нанизанного на гладкий горизонтальный стержень под действием силы упругости пружины. По второму закону Ньютона произведение массы тела на вектор ускорения есть равнодействующая всех сил, приложенных к телу. Сила, действующая на шарик, - это сила упругости растянутой или сжатой пружины. Её проекция по закону Гука равна произведению жесткости пружины на смещение шарика, взятое с обратным знаком. Подставляем выражение для силы упругости во второй закон Ньютона, получаем: произведение массы шарика на его ускорение равно произведению жесткости пружины на смещение шарика, взятое с обратным знаком. Разделим обе части уравнения на массу тела. Получаем, что проекция ускорения равна взятому с обратным знаком произведению отношения жесткости пружины к массе тела на смещение тела относительно положения равновесия. Так как масса тела и жесткость пружины — постоянные величины, то их отношение - также постоянная величина. Мы получили уравнение, описывающее колебания тела под действием силы упругости: проекция ускорения тела прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

Аналогичным образом можно получить уравнение движения математического маятника. Оно схоже по форме с уравнением, которое описывает колебания тела под действием силы упругости. Проекция ускорения математического маятника равна взятому с обратным знаком произведению отношения ускорения свободного падения к длине нити на смещение тела относительно положения равновесия. Так как ускорение свободного падения и длина нити — постоянные величины для данного маятника, то их отношение - также постоянная величина. Значит, проекция ускорения математического маятника прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком. Для двух рассмотренных колебательных систем справедливы одинаковые по форме уравнения движения: ускорение тела, совершающего колебания, прямо пропорционально смещению от положения равновесия, взятому с противоположным знаком.
Из курса математики известно, что ускорение точки — это производная ее скорости по времени или вторая производная координаты по времени. Поэтому уравнения движения тела, совершающего колебательные движения под действием силы упругости, можно записать таким образом: вторая производная координаты тела по времени равна взятому с обратным знаком произведению отношения жесткости пружины к массе тела на координату тела. Вторые производные синуса и косинуса по их аргументу пропорциональны самим функциям, взятым с противоположным знаком, и никакие другие функции таким свойством не обладают. Это значит, что координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или косинуса.
Запишем это уравнение, используя функцию косинуса. Тогда оно примет следующий вид: координата колеблющегося под действием силы упругости тела равна произведению максимального отклонения тела от положения равновесия на косинус произведения корня квадратного из отношения жесткости пружины к массе груза на время колебаний. Мы получили уравнение зависимости координаты тела, совершающего колебания, от времени. На рисунке изображено изменение координаты точки со временем по закону косинуса. Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. Существует ряд величин, характеризующих колебательное движение. Отклонение тела от положения равновесия называют смещением. Амплитудой гармонических колебаний называется максимальное расстояние, на которое тело отклоняется от положения равновесия. Амплитуда зависит от начальных условий колебаний. Время одного полного колебания называется периодом колебаний. Период колебаний измеряется в секундах. Частотой колебаний называется число колебаний за единицу времени. Единица частоты колебаний в интернациональной системе единиц - герц. 1Герц (Гц)- частота такого колебательного движения, при котором
колеблющееся тело совершает одно полное колебание за одну секунду.
Циклическая или круговая частота - величина, которая показывает, сколько колебаний тело совершает за 2π секунд. Единица циклической частоты - радиан в секунду. Выведенная из состояния равновесия колебательная система совершает свободные колебания с определенной частотой, поэтому её называют собственной частотой колебательной системы. Для пружинного маятника собственная частота колебаний определяется как корень квадратный из отношения жесткости пружины к массе груза. Собственная частота математического маятника равна корню квадратному из отношения ускорения свободного падения к длине маятника. Если подставить выражение для собственной частоты в формулу уравнения зависимости координаты тела, совершающего колебания, от времени, то это уравнение примет следующий вид: координата колеблющегося тела равна произведению максимального отклонения тела от положения равновесия на косинус произведения циклической частоты системы на время колебаний.
Период свободных колебаний зависит от параметров самой системы. При колебаниях груза на пружине период зависит от жесткости пружины и массы груза. Чем больше жесткость пружины, тем меньше период колебаний; чем массивней груз, тем больше период колебаний. Для математического маятника период колебаний зависит только от длины нити: чем длиннее нить, тем больше период колебаний. От массы маятника он не зависит.
В уравнении, описывающем свободные колебания, под знаком косинуса находится произведение циклической частоты колебаний на время. Это произведение называют фазой колебаний. Выражается фаза в угловых единицах радианах. Фаза определяет значение координаты и других физических величин, например, скорости и ускорения, изменяющихся также по гармоническому закону. Поэтому можно сказать, что фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени. При совершении колебательных движений энергия системы переходит из одной формы в другую. Рассмотрим колебания шарика на пружине и предположим для простоты, что в колебательной системе отсутствуют силы трения. Смещая шарик, прикрепленный к пружине, вправо на расстояние х максимальное, мы сообщаем колебательной системе потенциальную энергию, равную половине произведения жесткости пружины на квадрат расстояния от положения равновесия. Под действием силы упругости шарик начнет двигаться влево, при этом деформация пружины станет меньше, и потенциальная энергия системы уменьшится. Но одновременно увеличится скорость и, следовательно, возрастет кинетическая энергия. Когда шарик будет проходить точку равновесия, деформация пружины будет равна нулю, следовательно, потенциальная энергия колебательной системы станет равной нулю. Скорость шарика в этой точке максимальна, значит, кинетическая энергия достигает максимума. При дальнейшем движении скорость шарика будет уменьшаться, а деформация пружины будет увеличиваться. Кинетическая энергия будет превращаться в потенциальную. В крайней левой точке она достигает максимума, а кинетическая энергия становится равной нулю. Мы видим, что при колебаниях шарика на пружине периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Полная механическая энергия при колебаниях тела, прикрепленного к пружине, равна сумме кинетической и потенциальной энергий колебательной системы. Согласно закону сохранения механической энергии при отсутствии трения полная механическая энергия изолированной системы неизменна.
В реальных колебательных системах всегда действуют силы трения. Они совершают отрицательную работу и тем самым уменьшают механическую энергию системы. Часть механической энергии системы расходуется на преодоление сил трения и переходит во внутреннюю энергию тел системы и окружающей среды. Поэтому с течением времени максимальные отклонения тела от положения равновесия становятся все меньше и меньше. После того, как запас механической энергии окажется исчерпанным, колебания прекратятся совсем. Любые свободные колебания являются затухающими.

Меняется во времени по синусоидальному закону:

где х — значение колеблющейся величины в момент времени t , А — амплитуда , ω — круговая частота, φ — начальная фаза колебаний, (φt + φ ) — полная фаза колебаний . При этом величины А , ω и φ — постоянные.

Для механических колебаний колеблющейся величиной х являются, в частности, смещение и скорость , для электрических колебаний — напряжение и сила тока .

Гармонические колебания занимают особое место среди всех видов колебаний, т. к. это единственный тип колебаний, форма которых не искажается при прохождении через любую однородную среду, т. е. волны, распространяющиеся от источника гармонических колебаний, также будут гармоническими. Любое негармоническое колебание может быть представлено в виде сумм (интеграла) различных гармонических колебаний (в виде спектра гармонических колебаний).

Превращения энергии при гармонических колебаниях.

В процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии W p в кинетическую W k и наоборот. В положении максимального отклонения от положения равновесия потенциальная энергия максимальна, кинетическая равна нулю. По мере возвращения к положению равновесия скорость колеблющегося тела растет, а вместе с ней растет и кинетическая энергия, достигая максимума в положении равновесия. Потенциальная энергия при этом падает до нуля. Дальней-шее движение происходит с уменьшением скорости, которая падает до нуля, когда отклонение достигает своего второго максимума. Потенциальная энергия здесь увеличивается до своего перво-начального (максимального) значения (при отсутствии трения). Таким образом, колебания кинетической и потенциальной энергий происходят с удвоенной (по сравнению с колебаниями самого маятника) частотой и находятся в противофазе (т. е. между ними существует сдвиг фаз, равный π ). Полная энергия колебаний W остается неизменной. Для тела, колеблющегося под действием силы упругости , она равна:

где v m — максимальная скорость тела (в положении равновесия), х m = А — амплитуда.

Из-за наличия трения и сопротивления среды свободные колебания затухают: их энергия и амплитуда с течением времени уменьшаются. Поэтому на практике чаще используют не свободные, а вынужденные колебания.

Превращение энергии при колебательном движении.

Затухающие колебания

Тип урока : комбинированный.

Задачи урока:

Образовательная: Изучить возможные превращения энергии в колебательных системах. Подтвердить справедливость закона сохранения механической энергии в колебательных системах. Понять взаимосвязь физических величин при колебательном процессе.

Воспитательная : внести максимализм в мотивы социального поведения для достижения определенной цели посредством решения экспериментальных задач.

Развивающая : развитие некоторых элементов умственной деятельности: умение выдвигать гипотезы, умение проверять гипотезы, наблюдать, делать выводы.

Оборудование к уроку: математический маятник, пружинный маятник, штатив, линейка, секундомер.

План урока:

Ход урока:

I. Проверка домашнего задания, повторение

1. Что называется амплитудой, периодом колебания, частотой колебания? Какой буквой обозначается и в каких единицах измеряется каждая из этих величин?
2. Что такое полное колебание?
3. Какая математическая зависимость существует между периодом и частотой колебания?
4. Как найти период математического маятника?
5. От чего зависит период пружинного маятника?
6. Как направлены по отношению друг к другу скорости двух маятников в любой момент времени, если эти маятники колеблются в противоположных фазах; в одинаковых фазах?
7. Какие колебания называются гармоническими?
8. Как меняются действующая на тело сила, его ускорение и скорость при совершении им гармонических колебаний?

II. Новый материал

Рассмотрение нового материала удобно начать с показа колебаний грузов, закрепленных на нитях. Для наглядности удобно взять нити равной длины, а грузы - разной формы. Например, шарик и тонкую пластинку.

Легко заметить, что колебания во второй системе будут затухать быстрее, чем в первой (рис. 1).

Видно, что полная механическая энергия быстрее убывает во второй системе. Почему? Ясно, что любая колебательная система будет совершать колебания до тех пор, пока обладает энергией. Отводя маятник от положения равновесия, мы сообщаем системе начальную энергию (рис. 1). Она равна потенциальной энергии тела: Е п = mgh.

Рис. 1

Отпустив маятник, мы видим, что скорость тела возрастает, а значит, возрастает и его кинетическая энергия. Из закона сохранения механической энергии уменьшение потенциальной энергии

приводит к эквивалентному увеличению кинетической энергии. Для любой точки траектории, если в системе нет сил трения, справедливо:

т.е.

Если тело находится в крайних положениях, система обладает полной энергией Е, определяемой только потенциальной энергией. А в положении равновесия полная энергия равна максимальной кинетической энергии груза:

Важно понять, что составляющие полной энергии Е к и Е р не просто изменяются во времени, а изменяются периодически с заданным периодом колебаний в системе. Период изменения Е к и Е р в2 раза меньше периода колебаний Т.

Обычно реальные системы обладают собственным трением, и присутствует сила сопротивления среды.

Поэтому колебания в таких системах являются затухающими: полная механическая энергия начинает уменьшаться, т.к. уходит на преодоление сил трения. Следовательно, амплитуда колебаний уменьшается, и, когда работа силы трения становится равна по модулю исходной полной энергии в системе, колебания прекращаются.

Но на колебательную систему может действовать периодическая внешняя сила. Такая сила называется вынуждающей силой.

Тряска автомобиля, движущегося по неровной дороге, движение качелей, которые кто-то периодически подталкивает - все это вынужденные колебания.

Свободные колебания с течением времени затухают. Поэтому на практике чаще используются не свободные колебания, а вынужденные. Наиболее широко они применяются в различных вибрационных машинах.

3. Закрепление и обобщение изученного: Решение экспериментальной задачи.

Обучающимся предлагается экспериментальная задача: перед ними устанавливается пружинный маятник, масса груза известна. Дается линейка, секундомер.

Задание: с помощью подручных средств и полученных знаний узнать всё, что только возможно .

Все происходит в виде игры: ученики по-очереди выходят к доске и показывают вычисление любой из величин. Последний выступающий получает существенный бонус в виде внеочередной отличной оценки.

Варианты измерений и вычислений:

Амплитуда, период, частота, жесткость пружины, кинетическая и потенциальная энергия в нижней точке, в верхней точке, в середине движения. Полная механическая энергия. Сила тяжести грузика, сила упругости в различных точках. Скорость грузика в различных точках, путь за период и др.

III. подведение итогов

Обсуждение вопросов

процесс превращения энергии при гармоническом колебательном движении на примере пружинного маятника.

1. Почему свободные колебания маятника затухают? При каких условиях колебания могут стать незатухающими?
2. Чем определяется частота свободных колебаний? Почему ее называют собственной частотой колебательной системы?
3. В каких машинах применяются вынужденные колебания?

Домашнее задание: §28, §28, Упражнение 25.

Математический маят­ник - это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерас­тяжимой нити, находящейся в поле тяжести Земли. Математический маятник - это идеализированная модель, правильно описывающая реальный маятник лишь при определенных условиях. Реальный ма­ятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожна мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь.

Колебательную систему в данном случае образуют нить, присо­единенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником.

где а х – ускорение, g – ускорение свободного падения, х - смещение, l – длина нити маятника.

Это уравнение называется урав­нением свободных колебаний математического маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

2) рассматриваются лишь малые колебания маятника с небольшим углом размаха.

Свободные колебания любых систем во всех слу­чаях описываются аналогичными уравнениями.

Причинами свободных колебаний математическо­го маятника являются:

1. Действие на маятник силы натяжения и силы тяжести, пре­пятствующей его смещению из положения равновесия и заставляю­щей его снова опускаться.

2. Инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою скорость, не останавливается в положении равновесия, а проходит через него дальше.

Период свободных колебаний математического ма­ятника

Период свободных колебаний математического маятника не за­висит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник.

Превращение энергии при гармонических колебаниях

При гармонических колебаниях пружинного маятника проис­ходят превращения потенциальной энергии упруго деформированного тела в его кинетическую энергию , гдеk – коэффициент упругости,х - модуль смещения маятника из поло­жения равновесия,m - масса маятника,v - его скорость. В соот­ветствии с уравнением гармонических колебаний:

, .

Полная энергия пружинного маятника:

.

Полная энергия для математического маятника:

В случае математического маятника

Превращения энергии при колебаниях пружинного маятника происходи в соответствии с законом сохранения механической энергии (). При движении маятника вниз или вверх от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая - уменьшается. Когда маятник проходит положение равно­весия (х = 0), его потенциальная энергия равна нулю и кинетическая энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной энергии.

Таким образом, в процессе свободных колебаний маятника его потенциальная энергия превращается в кинетическую, кинетическая в потенциальную, потенциальная затем снова в кинетическую и т. д. Но полная механическая энергия при этом остается неизменной.

Вынужденные колебания. Резонанс.

Колебания, происходящие под действием внеш­ней периодической силы, называются вынужден­ными колебаниями . Внешняя периодическая си­ла, называемая вынуждающей, сообщает колеба­тельной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, проис­ходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или коси­нуса, то вынужденные колебания будут гармониче­скими и незатухающими.

В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из со­стояния равновесия), в случае вынужден­ных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периоди­ческой силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на пре­одоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему ос­тается неизменной.

Частота вынужденных колебаний равна часто­те вынуждающей силы . В случае, когда частота вынуждающей силы υ совпадает с собственной ча­стотой колебательной системы υ 0 , происходит рез­кое возрастание амплитуды вынужденных колеба­ний - резонанс . Резонанс возникает из-за того, что при υ = υ 0 внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает по­ложительную работу: энергия колеблющегося те­ла увеличивается, и амплитуда его колебаний ста­новится большой. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний А т от частоты вынужда­ющей силы υ представлен на рисунке, этот график называется резонансной кривой:

Явление резонанса играет большую роль в ря­де природных, научных и производственных про­цессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.