Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Например, для функции y = n 2 можно записать:
y 1 = 1 2 = 1;
y 2 = 2 2 = 4;
y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.
1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:
y n = f (n ).
Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.
3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.
Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….
Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….
Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.
Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….
Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;
Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .
На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .
Свойства числовых последовательностей.
Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
y 1 y 2 y 3 y n y n +1
Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:
y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.
Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?
Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению
5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.
Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.
Геометрическая прогрессия.
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями
b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).
(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).
Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.
Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.
Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.
Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q
Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.
b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .
Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид
b n = b 1 q n– 1 .
Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.
Пусть дана конечная геометрическая прогрессия
b 1 , b 2 , b 3 , …, b n
пусть S n – сумма ее членов, т.е.
S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .
Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .
S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .
Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,
Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.
При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .
Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как
b n = b n- 1 q;
b n = b n+ 1 /q,
следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):
числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.
Предел последовательности.
Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число
В противном случае последовательность называется расходящейся.
Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность
Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.
Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).
Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .
Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.
Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .
Анна Чугайнова
Методика предназначена для выявления сообразительности, умения понимать связь событий и строить последовательные умозаключения. Предложена А. Н. Бернштейном.
Для проведения опыта необходимы серии сюжетных картинок (в количестве 3‑6 картин), на которых изображены этапы какого-либо события.
Существуют серии, соответствующие по содержанию детскому возрасту, а также серии для взрослых (см. стимульный материал).
Оригиналы этих серий выполнены красками, но можно пользоваться и их фотокопиями.
Испытуемому показывают пачку перемешанных карточек и говорят: «Вот здесь на всех рисунках изображено одно и то же событие. Нужно разобрать, с чего все началось, что было дальше и чем дело кончилось. Вот сюда (экспериментатор указывает место) положите первую картинку, на которой нарисовано начало, сюда ‑ вторую, третью..., а сюда последнюю».
После того как испытуемый разложил все картинки, экспериментатор записывает в протоколе, как он разложил (например: 5, 4, 1, 2, 3), и лишь после этого просит испытуемого рассказать по порядку о том, что получилось. Если он разложил неправильно, ему задают вопросы, цель которых помочь больному установить противоречие в его рассуждениях, выявить допущенные ошибки.
Если вторая попытка безуспешна, тогда экспериментатор сам показывает испытуемому последовательность событий и, перемешав снова все карточки, предлагает ему разложить их снова ‑ в третий раз или составить рассказ, отражающий последовательность событий.
ФОРМА ПРОТОКОЛА
Исследование больного, перенесшего травму
Что произошло?
Составь(те) рассказ по картинкам и придумайте заглавие
Составь(те) рассказ по картинкам
Составь(те) рассказ по картинкам
Интеллектуальное недоразвитие, затрудненность осмысления, свойственные олигофренам и больным с органическими заболеваниями мозга, проявляются в том, что больные, справляясь с легкими сериями, не могут ориентироваться в более трудных; в одной и той же серии они, как правило, ошибаются на одной более трудной картине.
Отчетливо выявляются с помощью данной методики некоторые формы инертности психических процессов больных: разложив в первый раз картинки неправильно, больные в дальнейшем несколько раз подряд повторяют ту же ошибочную версию последовательности. Такая «склонность к застреваниям» наблюдается при некоторых органических заболеваниях мозга в детском, а также в старческом возрасте.
При истолковании результатов исследования следует обращать внимание на то, как больной реагирует на наводящие вопросы и критические возражения экспериментатора, «подхватывает» ли он эту помощь или не понимает ее.
Значительный интерес представляют особенности устной речи больных, выявляющиеся во время объяснения последовательности событий (грамматически связная, развернутая либо односложная, бедная, лаконичная, либо с тенденцией к излишней детализации).
Затруднения в установлении сюжета по серии рисунков свидетельствуют о недостаточности уровня процессов обобщения и отвлечения.
Исследование ассоциаций
Три методики, приведенные в этом разделе, нельзя считать направленными на исследование мышления в подлинном смысле слова. Выполнение инструкций не требует от испытуемого целенаправленных логических действий, не связано с решением мыслительных задач. Тем не менее, выявляя особенности течения ассоциаций, они могут быть полезны для анализа тонких признаков расстройств мышления.
3.10.1. ТЕСТ «НАЗВАНИЕ 60 СЛОВ»
Методика выявляет характер и продуктивность ассоциаций испытуемого, а также его словарный запас.
Методика напоминает ассоциативный эксперимент К.Юнга. Он предлагал испытуемым называть какие угодно слова, предполагая, что в таком свободном потоке ассоциаций могут раскрыться его переживания, подсознательные стремления и опасения. Не вдаваясь в критический анализ такого направления исследований, укажем лишь, что оно теперь крайне редко применяется. Значительно чаще данный экспериментальный прием используется для исследования связности ассоциаций.
Для проведения опыта экспериментатор должен подготовить мягко пишущее перо (или карандаш) и секундомер (или обыкновенные часы). Нежелательно проводить этот эксперимент после «классификации предметов».
Исследование проводится под видом проверки скорости речи. Экспериментатор говорит испытуемому: «Давайте проверим, насколько быстро вы можете говорить. Назовите, пожалуйста, 60 каких угодно слов ‑ все равно каких, только как можно скорее. Старайтесь не называть того, что видите перед собой. Начинайте!».
Все слова, которые называет испытуемый, экспериментатор должен постараться записать. По секундомеру регистрируется время, затраченное на произнесение слов.
В случае, если испытуемый называет слова с длительными паузами, экспериментатор не отрывает карандаша от бумаги и, пока больной. молчит, продолжает ставить в ряду слов точки. Количество поставленных точек дает представление об относительной длине пауз, сделанных больным.
Опыт продолжается 2 минуты, иногда и меньше, если больной не в состоянии называть слова.
Для психически здоровых людей, а также школьников задание не представляет трудности. Слова называются обычно «гнездами», по 4‑ 7 слов из какой-либо области смежных представлений, а затем происходит понятный переход к следующему «гнезду», т. е. близкому ряду слов. Так, например, испытуемый называет: «тигр, волк, лось, медведь, шкура, мех, шуба, пальто, костюм, плащ». В этом ряду следует перечисление зверей, а затем после перехода «шкура ‑ мех» ‑ следующее гнездо: виды одежды. Очень большие «гнезда», т. е. перечисление 10 ‑ 12 предметов одного и того же ряда, а иногда и больше, свидетельствуют о чрезмерной обстоятельности, инертности мышления больных.
Особого внимания заслуживают быстрые, внезапные переходы от одного содержания представлений к другому. Так, например, больной быстро называет ряд слов: «жемчуг, дирижабль, несмотря, корица, мокрица, фисгармония». В этом ряду невозможно уловить содержательные связи между словами, но отчетливо выступают ассоциации по звучанию (корица, мокрица). Такого типа ассоциации встречаются у больных шизофренией.
В иных случаях элементы разорванности ассоциаций выявляются среди адекватного содержательного ряда слов. Так, например, «ель, изумруд, счастье, Иванов, дерево, мозги, чиж, щегол, попугай, ель, Барыбинск, соловей, Галли Курчи, Галя, Водопьянов, пошлина, шелк, ситец, Карманьола, Мытищи, Останкино, кулак, дерево, дурак». Следует подчеркнуть, что делать вывод о нарушении связности ассоциации можно лишь тогда, когда больной произносит слова быстро, а не выдумывает их, мучительно выискивая в памяти.
Данная проба может также оказаться полезной для выявления богатства или бедности словарного запаса и запаса представлений. Так, например, у больного с неизвестным анамнезом (при ограничении олигофрении в степени имбецильности от шизофренического дефекта) данная проба совершенно неожиданно выявила большой запас абстракных понятий и сложных представлений (испытуемый называл ряд слов: аэродинамика, тяготение, пространство, Млечный путь, индукция... и т. д.), что невозможно при имбецильности.
Методика предназначена для выявления возможности устанавливать пространственно-временные и причинно-следственные связи по серии сюжетных картинок.
Для проведения обследования необходимо иметь несколько серий состоящих из 2-5 картинок, каждая из которых отражает какое-либо событие несложного сюжета. Серии подбираются разной степени трудности: от самых легких до таких, в которых имеется пропущенное звено. Желательно иметь серии в красках, так как цветные изображения воспринимаются детьми легче, чем черно-белые, и вызывают больший эмоциональный интерес.
Ребенку показывают пачку перемешанных, заранее пронумерованных картинок: «Вот здесь на картинках один рассказ. Найди, с чего все началось, что было потом, чем все кончилось. Положи все картинки по порядку (одновременно показывать жестом). Сюда положи первую картинку, сюда - вторую, ...а сюда положи последнюю картинку».
Перед ребенком выкладывают перемешанные в беспорядке картинки: «Посмотри картинки и начинай раскладывать». В протоколе регистрируются все действия ребенка: как он рассматривает картинки, как начинает действовать (целенаправленно или хаотично, не задумываясь над очередной картинкой), замечает ли ошибки и исправляет их или не обращает на них внимания и продолжает выкладывать дальше, просматривает ли еще раз всю раскладку после ее завершения и т.д. После окончания раскладки, экспериментатор записывает в протоколе полученную последовательность. Если ребенок сразу выполнил задание правильно, ему предлагается другая, более сложная серия с краткой инструкцией:
«На этих картинках другой рассказ. Разложи все картинки по порядку» (жест).
Если серия разложена неправильно, переходят ко второму этапу по этой же серии. «Ты разложил неправильно (экспериментатор выбирает первую картинку). Вот это первая картинка. Положи ее сюда (остальные в беспорядке выкладывает перед ребенком). А эти картинки (жест) разложи по порядку».
Если ребенок выполнил задание правильно, ему дают аналогичную серию с тем, чтобы проверить, сможет ли он применить освоенный способ действия. Если серия не разложена, начинают следующий этап.
Экспериментатор рассказывает весь сюжет, подчеркивая слова «раньше», «потом» и сопровождает свой рассказ последовательным выкладыванием картинок. Затем снова перемешивает картинки и предлагает ребенку разложить их по порядку.
Если все выполнено правильно, ребенку дают аналогичную серию, если нет -еще повторяют предыдущий этап, стараясь получить правильную раскладку. Дополнительные объяснения по схеме четвертого этапа обязательно заносятся в протокол.
При оценке выполнения задания основное внимание обращается на количество помощи (этапы - подсказки), необходимой ребенку для получения правильного результата, на то, как он принимает эту помощь, и на возможность «переноса».
Примерные серии последовательных картинок для младших детей: «Волки», «Лодки», «Колодец», «Собака-санитар», «Вороны», «Весна наступила», «Мальчик и собака», «Лиса и ворона», «Хитрый мышонок», «Заяц и морковка», «На льдине».
Классификация предметов
Метод предметной классификации применяется для исследования процессов обобщения и абстрагирования. Он состоит в распределении предметов по группам в зависимости от их сходства и различия. Кроме того, применение этого метода дает возможность выявить особенности внимания, личностных реакций испытуемого на свои успехи и неудачи.
Для проведения исследования необходимо иметь набор из 70 карточек, на которых изображены разнообразные предметы и живые существа. Для получения достоверных данных следует пользоваться стандартным набором карточек.
Методика классификации предметов применяется как для исследования взрослых, так и детей (от б лет). В зависимости от возраста испытуемого из общего набора или исключают часть карточек (измерительные приборы, учебные пособия), или отбирают небольшое число карточек (20 штук), которые распределяются на простые группы, хорошо известные детям.
Для наиболее простого варианта методики необходим набор из 25 картинок. Всегда в одном и том лее порядке предлагаются 20 заранее пронумерованных картинок: яблоко, диван, коза, лошадь, стол, ребенок, велосипед, телега, сливы, женщина, пароход, шкаф, собака, арбуз, моряк, этажерка, кузнец, кошка, самолет, груша.
Перед ребенком кладут 5 непронумерованных ориентировочных карточек: лыжник, кровать, грузовик, вишня, овца.
Показывают ребенку пачку картинок: «Эти картинки разложим по группам -что к чему подходит». Затем предъявляют ребенку первую картинку - яблоко: «Куда мы положим яблоко?» При затруднениях в речи ребенок может показать жестом. Если он показывает верно, экспериментатор одобряет: «Правильно, положи к вишне. Это фрукты». (Обобщающее понятие дает сам экспериментатор.) Если попытка испытуемого не удалась, экспериментатор объясняет сам: «Положи к вишне, это фрукты».
Затем показывают вторую картинку - диван - с тем же вопросом: «Куда положим диван?» При неправильном решении экспериментатор опять объясняет, что эту картинку нужно положить к кровати, так как это мебель.
Экспериментатор продолжает раскладывать и объяснять, давая обобщенные понятия до тех пор, пока ребенок не начнет раскладывать сам. В протоколе отмечается номер картинки, с которой ребенок начинает правильно соотносить предметы по обобщенному признаку (нумерация картинок облегчает запись в протоколе).
Эти записи позволяют лучше разобраться в особенностях протекания процессов анализа и синтеза, понять, доступно ли ребенку установление обобщенной связи между предметами или он объединяет их по конкретным признакам.
Поскольку обследование носит характер обучающего эксперимента, то при анализе данных решающее значение приобретают число этапов, необходимых для усвоения принципа действия, и возможность применения этого принципа в дальнейшей работе того же рода (т. е. возможности «переноса»).
В протоколе отмечаются номера картинок, вопросы и объяснения экспериментатора, действия ребенка, его вопросы и высказывания. Этот вариант методики у детей с первично сохранным интеллектом не вызывает затруднений. В большинстве случаев после совместного разбора 2-3 (иногда 1) картинок дети улавливают принцип классификации и дальше выполняют работу самостоятельно без ошибок или с единичными ошибками.
Исключение предметов (четвертый лишний)
Методика предназначена для исследования умения делать обобщения и давать логическое объяснение правильности обобщений. В некоторых методических пособиях эту методику называют упрощенным вариантом классификации предметов.
Важным условием применения методики является речевое обоснование выбора. В отношении детей с нарушениями речи допустим ответ одним словом, с поясняющими жестами, если это дает экспериментатору возможность понять принцип, которым руководствовался ребенок. При обследовании детей, которые из-за речевых дефектов не могут объяснить свой выбор, данный метод имеет более ограниченное применение.
Для проведения эксперимента необходимо иметь набор карточек, градуированных по степени трудности. На каждой карточке нарисовано по четыре предмета, три из которых объединяются одним общим понятием, а четвертый предмет под это понятие не подходит. Например: карманные часы, настольные часы, будильник, пятикопеечная монета; керосиновая лампа, электрическая лампочка, солнце, свечи и т. д.
Можно и самим составить наборы, но обязательно с соблюдением особенностей подбора и оформления карточек (нефиксированное положение «лишнего» предмета, включение цветных рисунков).
Все карточки, которые будут предлагаться ребенку, заранее располагают в порядке возрастающей сложности и складывают стопкой на столе. Инструкция дается на примере самой легкой карточки: «Здесь нарисовано четыре предмета. Три предмета похожи, их можно назвать одним словом. А один предмет к ним не подходит. Найди какой?»
Если ребенок сразу правильно выделяет предмет, его просят объяснить: «Почему этот предмет не подходит? Как эти предметы можно назвать одним словом?» Если же ответ ребенка неверный, экспериментатор вместе с ним разбирает первую картинку, дает обозначение трем предметам и объясняет, почему надо исключить четвертый предмет.
Следующую карточку, по трудности одинаковую с первой, предъявляют ребенку с более короткой инструкцией: «Здесь тоже один предмет не подходит к другим. Посмотри, что здесь надо убрать?»
Если задание выполнено правильно, спрашивают: «Почему не подходит? Как одним словом назвать эти три предмета?» При неправильном исключении предмета с помощью вопроса выясняют его мотивацию. Затем говорят ребенку, что он сделал неправильно, и повторяют на примере этой карточки подробный разбор вместе с ребенком.
В протоколе отмечаются номер карточки, вопросы и замечания экспериментатора, исключаемый предмет, объяснения ребенка и обобщающее слово.
«Отыскивание чисел»
Методика используется для выявления скорости ориентировочно-поисковых движений взора и определения объема внимания применительно к зрительным раздражителям. Пригодна лишь при исследовании детей, которые знают числа.
Для проведения опыта нужно иметь пять таблиц Шульте, представляющих собой планшеты (60x90 см), на которых написаны вразброс числа от 1 до 25. На каждой из пяти таблиц числа расположены по-разному. Кроме того, нужны секундомер и небольшая (30 см) указка. Опыт можно проводить с детьми, обучающимися во II классе массовой школы или в IV классе вспомогательной школы.
Ребенку мельком показывают таблицу, говоря: «Вот на этой таблице числа от 1 до 25 расположены не по порядку». Далее таблицу перевертывают и кладут на стол. После этого продолжают инструкцию: «Ты должен будешь вот этой указкой показывать и называть вслух все числа по порядку от 1 до 25. Постарайся делать это как можно быстрее и без ошибок. Понятно?» Если ребенок не понял задания, ему его повторяют. Таблица при этом не открывается. Затем экспериментатор ставит таблицу вертикально на расстоянии 70-75 см от ребенка и говорит: «Начинай!» Одновременно включает секундомер.
Ребенок указывает на числа и называет их, а экспериментатор следит за правильностью его действий. Когда ребенок дойдет до «25», экспериментатор останавливает секундомер.
Затем ребенку предлагают таким же образом показывать и называть числа на второй, третьей, четвертой, пятой таблицах.
При оценке результатов прежде всего становятся заметны различия в количестве времени, которое ребенок тратит на отыскивание чисел. Практически здоровым детям на одну таблицу достаточно 30-50 с (чаще всего 40-42 с).
Заметное увеличение времени на отыскивание чисел в последних (четвертой и пятой) таблицах свидетельствует об утомляемости ребенка, а ускорение - о медленном «вырабатывании».
В норме на каждую таблицу уходит примерно одинаковое время.
Проба на совмещение признаков (по В. М. Когану)
Методика используется для изучения умственной работоспособности детей и подростков. Для проведения исследования необходима доска из картона размером 40x40 см, разделенная на 64 клетки. В каждой из семи клеток (кроме первой слева) верхнего ряда изображено по одной (неокрашенной) геометрической фигуре (квадрат, треугольник, круг и т. д.). В каждой из семи клеток (кроме верхней) вертикального ряда (слева) сделано по одному яркому цветному мазку (красный, синий, зеленый, коричневый, голубой, оранжевый, желтый). На отдельных карточках (их 49) изображены фигурки разных цветов и форм. Цвета и формы этих фигурок соответствуют изображенным на доске цветам и формам.
Карточки тщательно тасуются на каждом из этапов работы. Эксперимент состоит из четырех этапов, на каждом из которых дается своя инструкция.
Инструкция на I этапе (простой пересчет): «Пересчитай вслух эти карточки, откладывая их по одной на стол». Экспериментатор показывает, как это надо делать. Пока ребенок считает, экспериментатор по секундомеру отмечает в протоколе время, затрачиваемое на пересчет каждых 10 карточек (в конце их только 9) и на весь пересчет.
Инструкция на II этапе (пересчет с сортировкой по цвету): «Теперь ты должен также вслух пересчитать эти карточки и одновременно раскладывать их на группы по цвету». В протоколе регистрируется время, затрачиваемое на каждые 10 карточек и на весь пересчет.
Инструкция на III этапе (пересчет с сортировкой по признаку формы): «Эти же карточки пересчитывай вслух и при этом сортируй их уже не по цвету, а по форме». Экспериментатор по-прежнему фиксирует затрачиваемое время.
Инструкция на IV этапе (пересчет по признаку цвета и формы с раскладыванием карточек по свободным клеточкам): «Ты должен найти место для каждой карточки на эгой таблице, учитывая цвет и форму. При этом по-прежнему веди счет-пересчет карточек». В протокол заносятся те же временные показатели. При необходимости экспериментатор словесную инструкцию может сопровождать показом.
По окончании эксперимента у психолога остается следующая таблица.
Форма протокола
Ф.И.__________________________________возраст________
Дата обследования___________________________________
| Этапы | Время, затраченное на пересчет карточек | Ошибки |
| І. простая реакция | ||
| П. сортировка по цвету | ||
| Ш. сортировка по форме | ||
| ІУ. совмещение |
Показатели:
Общее время__________Общее количество ошибок_________
Коэффициент Д ___________ Коэффициент К______
Кривая ошибок ____________Тип кривой ошибок_______
По временным показателям рассчитываются коэффициенты Д и К.
Показатель Д - дефицит внимания - определяется как разница между временем, затраченным на IV этапе работы, и суммой временных затрат П и Ш этапов. Он определяется по формуле: Д=В4-(В2+ВЗ),
Показатель Д указывает на способность к совмещению признаков, дефицит произвольного внимания и, в частности, свидетельствует о трудностях распределения.
Показатель К определяется формулой: К = Д: В4. Этот показатель (коэффициент врабатываемости испытуемого) позволяет оценивать то, как испытуемый усваивает принцип работы. Чем выше показатель, тем быстрее испытуемый усвоил принципы выполнения задания.
Временные показатели (в секундах) выполнения заданий по методике В. М. Когана здоровыми детьми (данные по Т. Д. Молодецких и А. Я. Ивановой) следующие:
Заучивание 10 слов
Это одна из наиболее часто применяющихся методик, она предложена А. Р. Лурия и используется для оценки состояния памяти, утомляемости, активности внимания.
Никакого специального оборудования не требуется. Однако в большей мере, чем при использовании остальных методик, необходима тишина: при наличии каких-либо разговоров в комнате опыт производить нецелесообразно. Перед началом экспериментатор должен записать в одну строчку ряд коротких (односложных и двусложных) слов. Слова нужно подобрать простые, разнообразные и не имеющие между собой никакой связи. Обычно каждый экспериментатор привычно пользуется каким-либо одним рядом слов. Лучше пользоваться несколькими наборами, чтобы дети не могли их друг от друга услышать.
В данном эксперименте необходимы очень большая точность произнесения слов и. неизменность инструкции.
Инструкция состоит как бы из нескольких этапов.
Первое объяснение: «Сейчас я прочту 10 слов. Слушать надо внимательно. Когда кончу читать, сразу же повтори столько, сколько запомнишь. Повторять можно в любом порядке, порядок роли не играет. Понятно?»
Экспериментатор читает слова медленно, четко. Когда испытуемый повторяет слова, экспериментатор ставит в своем протоколе крестики под этими словами (см. форму протокола). Затем экспериментатор продолжает инструкцию (второй этап).
Продолжение инструкции: «Сейчас я снова прочту те же самые слова, и ты должен повторить их - и те которые уже назвал, и те, которые в первый раз пропустил, - все вместе в любом порядке».
Экспериментатор снова ставит крестики под словами, которые воспроизвел испытуемый.
Затем опыт снова повторяется 3, 4 и 5 раз, но уже без каких-либо инструкций. Экспериментатор просто говорит: «Еще раз».
В случае еслииспытуемый называет лишние слова, экспериментатор обязательно записывает их рядом с крестиками, а если слова эти повторяются, ставит крестики и под ними.
Если ребенок в процессе опыта пытается вставлять какие-либо реплики, экспериментатор его останавливает. Никаких разговоров во время опыта допускать нельзя.
После пятикратного повторения экспериментатор переходит к другим опытам, а в конце исследования т.е. примерно через 50-60 мин, снова просит воспроизвести эти слова (без напоминания).
Чтобы не ошибиться, эти повторения лучше отмечать не крестиками, а кружочками.
По результатам исследования составляется график «Кривая запоминания». По форме кривой можно делать некоторые выводы относительно особенности запоминания. Установлено, что у здоровых детей школьного возраста «Кривая запоминания» носит примерно такой характер: 5, 7, 9, или 6, 8, 9, или 5, 7, 10, т. е. к третьему повторению испытуемый воспроизводит 9 или 10 слов; при последующих повторениях (всего не менее 5 раз) количество воспроизводимых слов 9-10. Дети с органическим повреждением мозга воспроизводят сравнительно меньшее количество слов. Они могут назвать лишние слова и «застрять на этой ошибке». Такие повторяющиеся «лишние» слова, по наблюдениям отдельных психологов, встречаются при исследовании больных детей, страдающих текущими органическими заболеваниями мозга. Особенно много таких «лишних» слов продуцируют дети в состоянии расторможенности.
«Кривая запоминания» может указывать и на ослабление активного внимания, и на выраженную утомляемость. Так, например, иногда ребенок ко второму разу воспроизводит 8 или 9 слов, но при последующих пробах припоминает их все меньше и меньше. В жизни такой ученик обычно страдает забывчивостью и рассеянностью. В основе забывчивости лежит преходящая астения, истощаемость внимания. Кривая в этих случаях необязательно резко опадает вниз, иногда она имеет зигзагообразный вид, свидетельствующий о неустойчивости внимания и его колебаниях.
В отдельных, сравнительно редких случаях дети всякий раз воспроизводят одинаковое количество одних и тех же слов, т. е. кривая имеет форму «плато». Такая стабилизация свидетельствует об эмоциональной вялости, отсутствии заинтересованности в том, чтобы запомнить побольше. Кривая типа низко расположенного «плато» наблюдается при слабоумии с апатией (при паралитических синдромах).
Число слов, удержанных и воспроизведенных испытуемым час спустя после повторения, в большей мере свидетельствует о памяти в узком смысле слова.
Пользуясь разными, но равными по трудности наборами слов, можно проводить этот эксперимент повторно с целью учета эффективности терапии, оценки динамики болезни и т.д.
Опосредствованное запоминание (по А. Н. Леонтьеву)
Для проведения эксперимента необходимо иметь наборы изображений предметов (картинки) и набор слов.
I вариант (6-10 лет).
Набор карточек: диван, гриб, корова, умывальник, стол, ветка, земляника, ручка, самолет, дерево, лейка, дом, цветок, тетради, телеграфный столб, ключ, хлеб, трамвай, окно, стакан, постель, экипаж, настольная электрическая лампа, картина в раме, поле, кошка.
Слова для запоминания: свет, обед, лес, учение, молоток, одежда, поле, игра, птица, лошадь, дорога, ночь, мышь, молоко, стул.
II вариант (после 10 лет).
Набор карточек: полотенце, стул, чернильница, велосипед, часы, глобус, карандаш, солнце, рюмка, обеденный прибор, расческа, тарелка, зеркало, перья (2 шт.), поднос, дом-булочная, фабричные трубы, кувшин, забор, собака, детские штанишки, комната, носки и ботинки, перочинный нож, гусь, уличный фонарь, лошадь,"петух, черная доска (школьная), рубашка.
Слова для запоминания: дождь, собрание, пожар, горе, день, драка, отряд, театр, ошибка, сила, встреча, ответ, праздник, сосед, труд.
Перед ребенком раскладывают рядами все карточки в любом порядке, но так, чтобы они были ему видны. Затем говорят: «Тебе нужно будет запомнить ряд слов. Для того чтобы это было легче делать, нужно каждый раз, когда я буду называть слово, выбирать такую карточку, которая потом поможет припомнить слово. Вот, например, первое слово, которое нужно запомнить... (смотря по тому, какой вариант предлагают, это может быть слово «дождь»). Здесь дождь нигде не нарисован, но можно выбрать карточку, которая поможет запомнить это слово». После того как ребенок Выберет карточку, ее откладывают в сторону и спрашивают: «Как эта карточка напомнит про дождь?» Если ребенок приступает к работе неохотно, то такие вопросы можно задавать после предъявления третьего и четвертого слова. Все отобранные карточки откладывают в сторону. Затем спустя 40 мин или час, т. е. перед концом исследования (после того как проделаны какие-либо другие эксперименты), ребенку в произвольном порядке показывают по одной карточке и просят припомнить, для запоминания какого слова эта карточка была отобрана. При этом обязательно спрашивают, как удалось припомнить или чем эта карточка напомнила соответствующее слово.
Форма протокола
При анализе результатов учитывается, что не может быть правильного или неправильного выбора. Анализируется характер связи, которую испытуемый установил между словом и изображением на карточке.
С 6-7-летнего возраста опосредствованное запоминание преобладает над непосредственным заучиванием. С возрастом этот разрыв увеличивается еще больше в пользу опосредствованного запоминания. К 15 годам здоровые дети могут воспроизводить все 100% предъявляемого материала.
Дети с ослабленной работоспособностью значительно лучше запоминают материал при опосредствованном запоминании, так как смысловая связь создает им дополнительные опорные вехи для запоминания.
Дети с нарушением целенаправленности мышления часто не могут вспомнить ни одного слова (при воспроизведении называют картинки, а не слова), так как еще во время образования связи они как бы теряют основную цель работы - необходимость связать выбор картинки с последующим воспроизведением слова.
Пиктограмма
Методика может быть с успехом использована при военной или судебпо-психиатрической экспертизе. В последние годы делается попытка использовать эту методику для исследования самых маленьких детей, применяя доступные им слова и словосочетания.
Для проведения эксперимента нужна чистая бумага и карандаши (простой и цветные). В подготавливаемых к эксперименту наборах слов и словосочетаний простые понятия могут чередоваться с более сложными, отвлеченными, например: «вкусный ужин», «тяжелая работа», «счастье», «развитие», «печаль» и т. п.
Ребенку объясняют, что будет проверяться его память, можно сказать «зрительная память». Чтобы запомнить отдельные словосочетания, он должен, ничего не записывая, нарисовать то, что поможет ему вспомнить заданное слово.
Выбранные из легких первые выражения могут быть использованы для более подробного разъяснения, уточнения инструкции, даже показа, если ребенок испытывает затруднения в понимании инструкции. По ходу работы желательно просить ребенка давать пояснения к замыслу, деталям, содержанию рисунка. Какие бы связи и рисунки ребенок ни создавал, не следует высказывать неодобрения. Лишь тогда, когда рисунки слишком многопредметны, а сам ребенок больше увлекается процессом рисования, чем выбором связи для запоминания, его можно несколько ограничить во времени.
Через час ребенку предлагают вспомнить заданные слова вразбивку. Можно назвать слова по рисункам и сделать подписи к ним. Иногда ребенку может быть оказана и необходимая помощь
При оценке результатов эксперимента прежде всего подсчитывается количество правильно воспроизведенных слов в соотношении с общим количеством предъявленных для запоминания. Эти данные могут быть составлены с результатами непосредственного заучивания (по методике «заучивание 10 слов»).
Установление последовательности событий. Методика предназначена для выявления сообразительности больных, их умения понимать связь событий, строить последовательные умозаключения. Предложена А.Н. Бернштейном.
Для проведения опыта необходимы серии сюжетных картинок (3-6 картин), на которых изображены этапы какого-либо события. Существуют серии, соответствующие по содержанию детскому возрасту («Волки», «Колодец», «Лодки» и др.), а также серии для взрослых («Колесо», «Пьяница» «Охотник» и т.д.). Оригиналы этих серий выполнены красками, но можно пользоваться и их фотокопиями.
Испытуемому показывают пачку перемешанных карточек и говорят: «Вот здесь на всех рисунках изображено одно и то же событие. Нужно разобрать, с чего все началось, что было дальше и чем дело кончилось. Вот сюда (экспериментатор указывает место) положите первую картинку, на которой нарисовано начало, сюда - вторую, третью... а сюда последнюю».
После того как больной разложил все картинки, экспериментатор записывает в протоколе, как он разложил (например: 5,4, 1, 2, 3), и лишь после этого просит больного рассказать по порядку о том, что получилось. Если больной разложил неправильно, ему задают вопросы, цель которых - помочь больному установить противоречие в его рассуждениях, выявить допущенные ошибки.
Умение ставить вопросы зависит от квалификации и опыта экспериментатора. Вопросы и ответы больного записываются в протокол так же, как и действия больного по исправлению раскладки картин. Если вопросами не удается довести больного до правильного понимания последовательности изображенных событий, экспериментатор просто показывает ему первую картинку и предлагает снова разложить. Это вторая попытка выполнить задание.
Если она также безуспешна, экспериментатор сам рассказывает и показывает больному последовательность событий и, перемешав снова все карточки, предлагает ему разложить их снова - в третий раз. В случае, если больной лишь на третьей попытке правильно установил последовательность, полезно предложить ему другую серию той же методики, чтобы выяснить, возможен ли «перенос» с трудом усвоенного способа рассуждений.
При выполнении задания некоторые больные создают произвольный, вымышленный порядок и, излагая сюжет события, нисколько не считаются с противоречащим ему содержанием рисунка. Такие больные обычно не считаются и с критическими замечаниями и возражениями, которые содержатся в вопросах экспериментатора. Таким способом выявляется некритичность мышления (при глубоком слабоумии, паралитических синдромах и др.).
Некоторые больные не в состояния справиться с установлением последовательности событий по пяти или шести картинкам, так как не могут охватить столь значительный объем данных. Если ту же серию сократить, т.е. ограничить задачу тремя этапами (первой, средней и последней картинкой), они успешно справляются с заданием. Такое сужение объема доступных для рассмотрения данных наблюдается при сосудистых и иных астениях органического генеза.
Интеллектуальное недоразвитие, затрудненность осмысления, свойственные олигофренам и больным с органическими заболеваниями мозга, проявляются в том, что больные, справляясь с легкими сериями, не могут ориентироваться в более трудных. В одной и той же серии они, как правило, ошибаются на одной, более трудной картине.
Отчетливо выявляются с помощью этой методики некоторые формы инертности психических процессов больных: разложив в первый раз картинки неправильно, они в дальнейшем несколько раз подряд повторяют ту же ошибочную версию последовательности. Такая «склонность к застреваниям» наблюдается при некоторых органических заболеваниях мозга в детском, а также в старческом возрасте.
При истолковании результатов исследования следует обращать внимание на то, как больной реагирует на наводящие вопросы и критические возражения экспериментатора, «подхватывает» ли он эту помощь или не понимает ее.
Значительный интерес представляют особенности устной речи больных, выявляющиеся во время объяснения последовательности событий (грамматически связная, развернутая либо односложная, бедная, лаконичная либо с тенденцией к излишней детализации).
В последнее время для установления последовательности и смысла событий используются серии, составленные из карикатур («Дома и на работе», «Прошел год», «Кто работал и кто устал», «Обман зрения» и т.д.). Преимущество этих серий в том, что они труднее для понимания и пригодны для исследования более интеллектуально развитых и сохранных больных. В то же время центр тяжести задания при использовании этих серий как бы переносится с установления строгой последовательности этапов события (иногда эту последовательность точно устанавливать и не нужно) на понимание юмора, т.е. смысла карикатур.
Серии последовательности событий по карикатурам используются с некоторой модификацией порядка проведения опытов. Больному вначале предлагают самому установить последовательность событий, а затем, если он не может этого выполнить, предлагают карточку с названием серии. Название составляется обычно так, что оно как бы проливает свет на смысл всей серии.
При установлении последовательности выполнения пересекающихся штрихов необходимо изучение следующих признаков:
непрерывность верхнего и прерывистость нижележащего штрихов в месте пересечения;
расплывы верхнего штриха вдоль нижнего;
диффузия красящего вещества нижележащего штриха в верхний;
унос красящего вещества из нижележащего штриха в верхний;
различия рельефа верхнего и нижележащего штриха.
Для выявления указанных признаков может быть применен следующий комплекс методов:
микроскопическое исследование (микроскопы МБС или поляризационный МПС);
фотосъемка люминесценции в инфракрасной области спектра;
фотосъемка на цветные фотоматериалы;
метод влажного копирования (водорастворимых штрихов - на увлажненную водой отфиксированную фотобумагу, растворимых в органических растворителях - на увлажненную растворителем ПХВ пленку);
адсорбционно-люминесцентный метод;
обработка участка пересечения парами кислот.
Экспертиза бланков документов
Бланки - это листы бумаги с напечатанными названиями учреждения и организации либо текстами, необходимыми для составления документов по определенной форме (паспорта, трудовые книжки, сберега...
Для установления способа изготовления бланка документа, его изучают с лицевой и оборотной сторон в отраженном, косопадающем и проходящем свете. При этом обращают внимание на цвет бумаги и красок, которыми нанесены изображения, конфигурацию и размер шрифта, наличие защитной сетки и ее рисунок.
Для изготовления поддельных бланков документов злоумышленники наиболее часто используют следующие способы, для которых характерны свои признаки:
I. печать с набора типографского шрифта: -- вдавленность штрихов оттиска;
- -- утолщение красочного слоя по краям оттиска;
- -- отличие шрифта исследуемого бланка от шрифта подлинного документа;
искривление строк, смещение букв;
неравномерная окраска оттиска;
орфографические ошибки;
наличие перевернутых букв;
присутствие знаков различных шрифтов.
б) печать с форм высокой печати, изготовленной вручную:
утолщение красочного слоя по краям оттисков;
вдавленность штрихов (наличие рельефа на оборотной стороне документа);
искаженный размер и конфигурация шрифта;
угловатость округлых элементов знаков;
зеркальное изображение отдельных знаков;
изломы штрихов;
орфографические ошибки;
отсутствие отдельных фрагментов знаков;
порезы в штрихах.
в) печать с форм плоской офсетной печати:
отсутствие непропечатанных мест внутри штриха;
отсутствие рельефа на оборотной стороне документа;
отсутствие красочного бортика по краям оттиска;
равномерное, поверхностное наложение красящего вещества в штрихах небольшим слоем;
отклонение общих размеров изображений;
соответствие оттиска подлинному бланку по расположению и содержанию рисунка и текста;
утолщение штрихов рисунка и текста по сравнению со штрихами подлинного бланка.
г) печать с фотоцинкографских клише:
вдавленность штрихов;
утолщение красочного слоя по краям штрихов;
отклонение размера печатного оттиска от размера подлинного бланка;
недостаточная четкость мелких штрихов и деталей;
изломы линий и строк на оттиске;
наличие неровных (извилистых) краев в штрихах, разрывы в штрихах, имеющие заостренные окончания;
округленность углов знаков. д) глубокая печать:
четкие границы штрихов;
отсутствие деформации бумаги с оборотной стороны документа;
неравномерное распределение краски в виде сгустков на поверхности штриха;
отсутствие красочного бортика. ж) электрофотография:
красящее вещество распределено достаточно равномерно и имеет зернистую структуру;
наличие точек-марашек на поверхности бумаги;
отсутствие деформации бумаги;
края штрихов нечеткие.
з) рисование (рисование может быть проведено "на глаз", на просвет или по заготовке, выполненной с подлинного бланка, передавливанием штрихов острым предметом; указанные признаки подробно изложены в разделе 3.5., где даны признаки технической подделки подписей, и в разделе 3.8.,рассматривающем признаки рисованных оттисков печатей и штампов):
несоответствие рисунка знаков типографским шрифтам;
различные размеры одноименных знаков;
различные расстояния между буквами и словами;
наличие следов подготовки (остатков графита карандаша, частиц копировальной бумаги и пр.);
орфографические ошибки.
Для разрешения задач, стоящих перед экспертами при установлении способа изготовления бланка документа, необходимо сравнительное исследование сомнительного бланка и бланка подлинного документа. Исследуются следующие признаки:
способ воспроизведения текста и рисунка;
способ и качество печати;
особенности шрифта и набора;
особенности бумаги и красок.
Необходимо сопоставление бланков документов по расположению, размерам и содержанию текста и рисунков, по внешнему виду примененных материалов (устанавливается визуально).
Для установления способа изготовления бланков печати проводят микроскопическое исследование с помощью стереоскопических бинокулярных микроскопов. При этом обращают внимание на такие признаки, как:
структура штрихов;
строение знаков;
деформация бумаги;
характер распределения красителя в штрихах.
Печатный текст исследуемого документа сравнивают с печатным текстом документов, представленных в качестве образцов, по рисунку, начертанию и кеглю шрифта, наличию дефектов очка.
Набор печатного текста сравнивают с текстом образцов по формату, длине строки, величине пробелов между буквами и словами, размеру абзацев.
Документы (спорные и образцы) сопоставляют и по таким признакам, как графическая точность, цветопередача и защитные печатные элементы.
Если установлено, что документ получен с печатной формы, определяют способ печати и способ изготовления печатной формы.
Способ печати можно установить при изучении толщины красочного слоя штрихов и характера распределения в нем краски.
Способ изготовления печатных форм определяется по строению печатных знаков, точности воспроизведения и др.
При осмотре исследуемых документов необходимо выяснить, какие объекты (сами бланки либо печатные формы) представлены в распоряжение эксперта в качестве сравнительных образцов. Так, необходимо, чтобы образцы бланков были набраны и отпечатаны в той же типографии, что и исследуемые (устанавливается по выходным данным, расположенным в нижней части бланка). В случаях, когда представлены печатные формы, с них делаются оттиски. криминалистический экспертиза документ подпись
Каждый из сравниваемых объектов изучается раздельно, в них выявляются общие и частные признаки.
К общим относятся:
способ печати;
наличие, взаиморасположение и точность графического воспроизведения всех реквизитов.
При установлении различий общих признаков, можно уже на этом этапе исследования сделать вывод о том, что сравниваемые бланки отпечатаны с разных печатных форм. При совпадении общих признаков приступают к изучению частных.
К частным признакам относят:
наличие точек-марашек, образующихся на различных участках бланка документа;
дефекты, появляющиеся как при изготовлении, так и в процессе эксплуатации печатной формы.
Для документов, изготовленных способом электрофотографии, характерны следующие частные признаки:
наличие и взаиморасположение черных точек неправильной формы (иногда с белыми пятнами внутри);
наличие неокрашенных изображений на копии;
параллельные полосы на поверхности бланка.
При наличии достаточной совокупности совпадающих признаков (общих и частных), можно сделать категорический вывод о тождестве. Если же обнаруживаются наряду с совпадающими признаками и признаки различия, необходимо выяснить причину их образования. В связи с этим при сравнительном исследовании необходимо изучать как можно большее количество образцов. Так, признаки различия могут быть объяснены тем, что в процессе печатания бланка документа была проведена доработка печатной формы, либо часть печатающих элементов в процессе эксплуатации формы могла быть утрачена. По этой причине в заключении необходимо объяснять появление признаков различий.